希望本文不仅能告诉你什么是动态规划，也能给你一种如何分析、求解动态规划问题的思考方式。0001b 动态规划介绍运筹学中的动态规划动态规划(Dynamic Programming，简称DP)是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化的一种数学方法。把多阶段问题变换为一系列相互联系的的单阶段问题，然后逐个加以解决。这里提到动态规划其实是一种数学方法，是求解某类问题的一种方法，而不是一种特殊的算法，没有一个标准的数学表达式或明确定义的一种规则。比如我们接触过的”排序算法“，”二叉树遍历算法“等，这些算法都是有固定范式的，遇到此类问题我们只需要照搬算法即可。但动态规划却不是，它告诉你的是解决某类问题的一种思路，或者是一种更高意义上的算法，是一种道，而不是术。所以动态规划难就难在我们即使学会了这种思想，遇到具体问题也需要具体分析，很可能因为我们构造不出动态规划所需要的形式而无法解决，甚至根本想不到这是一个动态规划问题。如下图。我们在解决某些最优问题时，可将解决问题的过程按照一定次序分为若干个互相联系的阶段（1, 2, …, N），从而将一个大问题化成一系列子问题，然后逐个求解。 多阶段决策过程在每一个阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最优。各个阶段决策的选取仅依赖当前状态（这里的当前状态指的是当前阶段的输入状态），从而确定输出状态。当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，这个决策序列就决定了问题的最终解决方案。这种把一个问题可看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程。前面说到”仅需要依赖当前状态“，指的是问题的历史状态不影响未来的发展，只能通过当前的状态去影响未来，当前的状态是以往历史的一个总结。这个性质称为无后效性(即马尔科夫性)。 上图中，在阶段2时所做出的决策，仅依赖于阶段2的输入状态，与阶段1的输入状态无关。动态规划定义中提到按照一定次序分成互相联系的子阶段，这里面的关键是互相联系。如果是独立的子问题，那是分治法，分而治之的意思。动态规划将一个大问题化成一族互相联系、同类型的子问题。既然是同类型，我们在逐个解决子问题的时候，就可以利用相同的决策，从而更容易的解决问题。互相联系利用前面已经解决的子问题的最优化结果来依次进行计算接下来的子问题，当最后一个子问题得到最优解时，就是整个问题的最优解。这里面包括两个关键点： 每一个阶段可能包括很多状态，前后阶段的状态通过决策联系在一起。如果要利用前阶段子问题的结果解决现阶段的子问题，必须要能够建立前后阶段状态的转移关系，最好可以通过方程表示。用专业术语我们又叫做”状态转移方程“。我们在衡量最优解的时候需要有一个指标函数，最优解就是让这个指标函数达到最优值，比如最大或者最小。如果我们可以将问题拆分成子问题，那么这个指标函数也必须具有分离性，也就是必须能够利用子问题的最优递推的求出整体最优。当整体最优求解出以后，就可以知道各个子问题的最优解。可以看到，上面两个关键点无论是状态转移方程还是指标函数分离，其实都是需要列出递推关系式，如果恰当的选取状态，让每个子问题的状态能够表示出子问题的最优解，那我们就可以用状态转移方程递推求出指标函数的最优解。实际中我们也是经常这么做的。2. 动态规划举例上面的描述如果觉得有些抽象，可以看完下面的栗子再回过头看一遍，可能理解会更加深刻。如下图，要求出从A点到F点的最短路径。我们来分析一下如何用动态规划的思想来解决这个问题。第一步，我们将这个问题拆分成多阶段子问题，然后选择状态变量，使其满足无后效性。如下图，我们分为3个阶段。阶段1有1个输入状态A，输出状态B, C，阶段1的输出状态就是阶段2的输入状态，所以阶段2有2个输入状态{B, C}，阶段3有2个输入状态{D, E}，输出状态F。以状态D为例，从状态D做决策选择最短路径的时候，我们只关心如何从D到F，不关心从前一阶段是从B还是C到达的D，满足无后效性。第二步，确定决策集合。假设当前处在状态B，此时的允许决策集合就是 { D, E}，不同的决策会使得状态转移的路径不同，从而影响到下一个状态。当选择决策D时，对应的决策变量 。第三步，确定状态转移方程、分离指标函数。把从A到F的路径看成一个指标函数，这个指标函数的最小值就是最短路径。我们接着分离指标函数，找到递推关系。我们用 表示从初始节点到第k阶段节点s的最短路径，当我们这样拆成子问题时，它既是整个问题的最优子结构（因为当k为N时，就是原问题本身），又可以定义成状态。 如果我们可以列出状态转移方程，也就可以递推求出最优解。 ,…

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